佩尔方程，问题！+20 佩尔方程「热点」

电影最后更新：2024-05-20 08:32:13 清晨的小鹿发布：1年前 2万阅读

最近有很多热心网友都十分关心佩尔方程，问题！+20 佩尔方程「热点」这个问题。还有一部分人想了解佩尔方程有解的条件。对此，哈哈娱乐网小编「清晨的小鹿」收集了相关的教程，希望能给你带来帮助。

佩尔方程的介绍

Pell方程，由费马提出，但后来欧拉误记为佩尔提出，并写入他的著作中。后人多称佩尔方程。沿续至今。

pell方程通解

佩尔方程是一种不定二次方程。

古希腊数学家在计算2的平方根时，尝试使用了这类方程中的一个，婆罗摩笈多(Brahmagupta)对佩尔方程的研究进行了最早的贡献，佩尔方程和欧几里德算法一起使用，可计算一个正整数的平方根的近似值。由于欧拉最早把此类方程称为佩尔方程，所以就有了这个名词了。实际上，数学家费马深入研究了这类方程，拉格朗日给出了解决方案。所以在数学界，它也被称为“佩尔-费马方程”。

设d是正整数，且非平方数。

下面的不定方程称为佩尔（Pell）方程：

佩尔方程
佩尔方程
....(1)

(1)一定有无穷多组正整数解

这是初等数论中最经典的内容之一。

佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程

假设( )是①中使最小的正整数解（称(1)的基本解），那么①的所有的正整数解可写为

x_n=1/2[(x_1+y_1d^0.5)^n+(x_1-y_1d^0.5)^n]

y_n=1/(2d^0.5)[(x_1+y_1d^0.5)^n-(x_1-y_1d^0.5)^n]

∴x_n+y_n*(d)^0.5=(x_0+y_0d^0.5)^(n+1)

且不难导出x_n,y_n满足的线性递推关系

x_n=2x_1x_(n-1)-x_(n-2)

y_n=2x_1y_(n-1)-y_(n-2)

佩尔方程与连分数，二次型，代数数域等等都有密切联系。

在一般的函数域上，我们也有类似的佩尔方程，它和向量丛的稳定性有着微妙的关系。

以上的公式就是Pell方程的一般形态

佩尔方程通解
d不为完全平方数时时存在无穷多个解

解的存在性证明：

佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程

(1) 首先证明存在无穷多个正整数满足 .

佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程
佩尔方程

记 = ，考察集合，显然对于任意正整数Q>1，均存在满足（事实上，此集合中每个元数都在(0,1)之内 . 作区间、、、，那么当从0取到Q时，由抽屉原理即知）

佩尔方程
佩尔方程
于是，

佩尔方程
佩尔方程
即 .

佩尔方程
佩尔方程
让Q从小到大取遍所有正整数，就可得到无穷多组正整数 .

佩尔方程的第II型佩尔方程

设d是正整数，且非平方数。
下面的不定方程称为第II型佩尔（Pell）方程：
x^2-dy^2=-1......② 如果②有正整数解，设(a,b)是②的正整数解中使x+y√d最小的解（称(a,b)为②的基本解），则②的全部正整数解可以表示为：
x+y√d=(a+b√d)^(2n+1) （n为任意正整数）
而且记x0+y0√d=(a+b√d)^2，则(x0,y0)为①的基本解。
但判定方程②是否有正整数解是一件十分困难的事情。见下面的方法。 92x^2+1=y^2,印度的婆什迦罗在他的文集中提到：能在一年内找出它的正整数解的人可以叫做数学家。而其实它的解并不大，婆什迦罗处理的都是特殊的pell方程，并未对一般情形做出证明，但是在中世纪，这已经是印度数学的最高成就，最小的x=120，y=1151，由(1151-120*1151^0.5)^n展开可以得到任意多组解（其实是所有解），其它的pell方程的通解也能这样得到；
271x^2+1=y^2,根号271的连分数到第一节循环节为止是[16,2,6,10,1,4,1,1,2,1,2,1,15,1,2,1,2,1,1,4,1,10,6,2,32],除去最后的32，得到最小的解为x=7044978537,而y=115974983600
666x^2+1=y^2,x=1060380,y=27365201
991x^2+1=y^2，991的算术平方根的简单连分数循环节长度达到60位，运算量很大，这导致它最小的解也是一个天文数字，x=12055735790331359447442538767，这时y=379516400906811930638014896080。

佩尔方程，问题！+20

最小解是(x0，y0)
其它各解分别是
(x₁,y₁)
(x₂,y₂)
(x₃,y₃)
…………
(x(n),y(n))
…………

x(n)+y(n)√d=(x0+y0√d)^(n+1)
意思是说将等号右端按二项式定理展开，合并，有理部等于x(n),无理部系数等于y(n)

佩尔方程最小解

x^2-D*y^2=1 ？提供网业

求佩尔方程的所有基本解

若一个丢番图方程具有以下的形式：且为正整数，则称此二元二次不定方程为佩尔方程（英文：Pell's equation德文：Pellsche Gleichung）。若是完全平方数，则这个方程式只有平凡解（实际上对任意的，都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解。而这些解可由的连分数求出。

与代数数论的联系
佩尔方程与代数数理论有紧密联系，因为公式给出了环（即二次域）上的范数。因此(x,y)是佩尔方程的解当且仅的范数是一，即是域上的一个单元。根据狄利克雷单位定理，的所有单元都可以表示为同一个基本单元的乘方形式。这就是说一个佩尔方程的所有的解都是一个基本解的乘方。单元总可以通过解一个类似佩尔方程而得到，但这时的基本解并不一定就是基本单元。

与切比雪夫多项式的联系
佩尔方程和切比雪夫多项式有内在的联系：若Ti(x)和Ui(x)分别是第一类和第二类切比雪夫多项式的相应项，那么它们是佩尔形式方程的解。于是第一类和第二类切比雪夫多项式可以通过展开基本解的乘方得到。

。

进一步有：如果(xi,yi)是佩尔方程的第i个解，那么

xi= Ti(x1)

yi= y1Ui - 1(x1)。

佩尔方程右侧为负一时如何证明有无穷多组正整数解？

如果D是正整数且不是完全平方数, 那么Pell方程x^2-Dy^2=1一定有无穷多组正整数解.
但是负Pell方程x^2-Dy^2=-1不一定有正整数解(比如D=3). 只能说当它有正整数解的时候一定有无穷多组正整数解, 只要写成(x+D^{1/2}y)(x-D^{1/2}y)=-1, 再两边取奇数次幂即可.